Matemática: Logaritmo

Definição: $x,y \in \mathbb{R}$ e $x > 0$, $b \in \mathbb{R}$ com $b > 0$ e $b \ne 1$. Escrevemos

$$ y = log_b (x) \iff b^y = x$$

onde $log_b (x)$ é logaritmo de $x$ na base $b$.

Identidades dos Logaritmos

(1) $ log_b (x y) = log_b (x) + log_b (y) $

(2) $log_b ( \frac{x}{y} ) = log_b (x) - log_b (y) $

(3) $log_b (x^n) = n \cdot log_b (x)$

(4) $log_b (b) = 1$

(5) $log_{b^n} (x) = \frac{1}{n} \cdot log_b (x) $

Exemplo 1: Calcular o $log_2 (64)$.

Resolução: Sabendo que $log_2 (64) = y \iff 2^y = 64$. Fatoramos $64$ onde obtemos $2^6 = 64$ assim temos,

$$2^y = 64 = 2^6 \implies y = 6$$

Fatoração de 64

Mudança de Base

Mudando da base $b$ para base $k$, $k \in \mathbb{R}$ com $k > 0$ e $ k \neq 1$.

$$ log_b (x) = \frac{log_k (x) }{log_k (b) }$$

Logaritmo Natural Definição Formal

Podemos escrever o logaritmo natural, ou seja, o logaritmo de base $e$ de $a$ como um limite.

Definição: Seja $x,a \in \mathbb{R}$ com $a > 0 $ e $a \ne 1$, temos $log_e (x) = ln (x)$ como,

$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x } \right) = ln(a)$$,

onde $$e = \lim_{x \to \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \approx 2.71828$$.

Complementando

Abaixo lista de vídeos sugeridos sobre logaritmo. Deixo como sugestão as aulas do canal do professor Gustavo Viegas

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