Matemática: Logaritmo

Definição: $x,y\in \mathbb{R}$ e $x>0$, $b\in \mathbb{R}$ com $b>0$ e $b\ne 1$. Escrevemos 

$$y=lo{g}_b(x)⟺b^y=x$$

onde $lo{g}_b(x)$ é logaritmo de $x$ na base $b$.

Identidades dos Logaritmos

(1) $lo{g}_b(xy)=lo{g}_b(x)+lo{g}_b(y)$

(2) $lo{g}_b(\frac{x}{y})=lo{g}_b(x)-lo{g}_b(y)$

(3) $lo{g}_b(x^n)=n\cdot lo{g}_b(x)$

(4) $lo{g}_b(b)=1$

(5) $lo{g}_{b^n}(x)=\frac{1}{n}\cdot lo{g}_b(x)$

Exemplo 1: Calcular o $lo{g}_2(64)$.

Resolução: Sabendo que $lo{g}_2(64)=y⟺2^y=64$. Fatoramos $64$ onde obtemos $2^6=64$ assim temos,

$$2^y=64=2^6⟹y=6$$

Fatoração de 64

64	2
32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
1	$2^6=64$

Mudança de Base

Mudando da base $b$ para base $k$, $k\in \mathbb{R}$ com $k>0$ e $k\ne 1$.

   $$lo{g}_b(x)=\frac{lo{g}_k(x)}{lo{g}_k(b)}$$

Logaritmo Natural Definição Formal

Podemos escrever o logaritmo natural, ou seja, o logaritmo de base $e$ de $a$ como um limite.

Definição: Seja $x,a\in \mathbb{R}$ com $a>0$ e $a\ne 1$, temos $lo{g}_e(x)=ln(x)$ como,

$$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{a^x-1}{x}\right)=ln(a)$$,

onde $$e=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x\approx 2.71828$$.

Complementando

Abaixo lista de vídeos sugeridos sobre logaritmo. Deixo como sugestão as aulas do canal do professor Gustavo Viegas

• História dos logaritmos
• Logaritmos definição

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